Dada la sucesión numérica,
1, 2, 6, 42, 1806, …
¿qué número sigue la serie?. La respuesta a esta pregunta es ambigüa, puesto que cualquier sucesión puede ser continuada de cualquier manera, si bien la solución que se nos suele pedir es aquélla en la que no nos salimos de los números naturales. Pero veremos ahora que si los números pueden ser reales existen infinitas soluciones.
Lógicamente la solución “incremental” es muy sencilla. Basta con elevar al cuadrado el anterior y sumarle ese mismo número, partiendo de 1 para el primer término.
Si queremos expresar esto en forma de polinomio, tenemos para n empezando en 1 ( n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …), el siguiente polinomio, que se verifica para todos los términos menos para el primero, el cuarto y el quinto :
An = (n – 1) ^ 2 + (n – 1)
Si ahora queremos que además esta ley se adapte al primer término ( A1 = 1), nos basta con hacer :
An = (n – 1) ^ 2 + (n – 1) + (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)
pues es un polinomio cuyo tercer sumando se anula para los 4 valores de n siguientes a 1, no así para n=1, para el cual da el 1 necesario para sumarle al 0 que dan para ese término los dos primeros sumandos.
Si queremos que además se adapte el término cuarto tendremos en cuenta que para n = 4 el valor de An según la anterior expresión sería de 12, por lo tanto debemos sumar una cantidad de 30, lo cual conseguimos con el término: (n-1)(n-2)(n-3) 5. De este modo nos queda el siguiente polinomio, que pasa por los primeros 4 valores :
An = (n – 1) ^ 2 + (n – 1) + (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) + 5 (n – 1)(n – 2)(n – 3) .
Finalmente, para conseguir que el polinomio de An pase además por el quinto término de la sucesión tendremos en cuenta que para ese valor de n = 5 el anterior polinomio toma una ordenada igual a 140, por lo que nos bastará con sumar un término adicional de (1666/24)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4). Nos queda entonces el polinomio siguiente, que pasa por los 5 primeros valores de n :
An = (n – 1) ^ 2 + (n – 1) + (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) + 5 (n – 1)(n – 2)(n – 3) + (1666/24)(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4).
Para demostrar de modo fehaciente y sencillísimo que existen infinitas soluciones al problema (siempre y cuando se nos permita salirnos de los números naturales), basta con que consideremos el siguiente polinomio :
An = (n – 1) ^ 2 + (n – 1) + (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) + 5 (n – 1)(n – 2)(n – 3) + (1666/24)(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) + a ( n – 1)( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)
Para cualquier valor “a” que elijamos, el polinomio aquí representado pasa por los 5 primeros términos dados como dato, y además dependiendo del valor “a” escogido tendremos un valor diferente para el término 6 de la serie.
Y estas soluciones son buenas, porque están resumidas en una ley lógica, que por supuesto también se podría poner en forma “incremental”, que tomaría la forma de una ecuación en diferencias.
En otras palabras, existen infinitos polinomios que pasan por un conjunto dado finito de puntos, y como en los problemas de sucesiones numéricas se nos pide el número / números que continúan la serie, habría en principio infinitas soluciones (si los números pueden ser reales o complejos). La razón de esto será explicada en entradas siguientes de este mismo hilo.
Tu fórmula para An es incorrecta: según esta, A4 sería
(4-1)^2 + (4-1) = 9 + 3 = 12,
pero A4 = 42.
La fórmula correcta es inductiva, es decir, depende de los anteriores. Tendrías que escribir
An = A(n-1)^2 + A(n-1).
La solución a esta ecuación de diferencias no es polinomial.
Es cierto, muchísimas gracias, Ricardo. Ni siquiera me había dado cuenta de que había escrito mal la expresión de An. Ahora ya lo he dejado corregido en la entrada. Te vuelvo a reiterar mi agradecimiento, aunque considero que conceptualmente tal corrección no desvirtúa en ningún sentido los conceptos involucrados en la entrada.